[NCS][응용수리] 경우의 수 - 1

가. 인경이는 1~6까지의 숫자 중 4개를 골라서 네 자리의 자연수를 만드려고 한다. 한 번 사용한 숫자는 다시 사용하지 않는다고 할 때, 인경이가 만든 숫자가 2,143보다 큰 경우는 몇가지인가?

우선 숫자 카드 4개가 있다고 가정해봅시다.

 

이 연속된 4자리의 카드는 2,143보다 커야합니다. 따라서, 우리는 경우의 수를 크게 4가지로 나눠볼 수 있습니다.

 

1. 1000번째 숫자가 3 이상일 경우.
2. 1000번째 숫자가 2이고, 100번째 숫자가 2이상일 경우
3. 1000번째 숫자가 2이고, 100번째 숫자가 1이고, 10번째 숫자가 5이상일 경우
4. 1000번째 숫자가 2이고, 100번째 숫자가 1이고, 10번째 숫자가 4일 경우

입니다. 이에 따라서 문제를 풀어보겠습니다.

 

1. 1000번째 숫자가 3 이상일 경우

 

1000번째 숫자는 3이상이어야 하므로 3,4,5,6 4가지의 숫자가 들어갈 수 있습니다. 100번째 숫자부터는 아무 숫자나 들어가도 상관 없으므로 순열을 사용해주면 5P3 = 60이 됩니다.

 

따라서 4 X 60 = 240이 됩니다.

 

2. 1000번째 숫자가 2이고, 100번째 숫자가 2이상일 경우

 

1000번째 숫자는 고정이므로 상관이 없고, 100번째 숫자부터 고려해보면, 100번째는 2이상이므로 3,4,5,6이 올 수 있습니다. 2는 이미 사용했으므로 2를 고려해주면 바로 오답입니다. 그럼에도 불구하고 2 이상이라고 표기한 이유는, 헷갈리는 것을 방지하기 위해서입니다.

 

따라서 3,4,5,6 4가지 숫자에 2개 중 4개를 선택하면 되므로 순열 4P2 = 12, 4 X 12 = 48이 됩니다.

 

3. 1000번째 숫자가 2이고, 100번째 숫자가 1이고, 10번째 숫자가 5이상일 경우

 

고정된 숫자를 제외하고, 10번째 숫자가 5 이상이면 10번째에는 5, 6의 2가지 숫자가 들어갈 수 있습니다. 따라서 2에 3가지 숫자를 선택할 수 있으므로 3P1 = 3이므로 2 X 3 = 6이 됩니다.

 

4. 1000번째 숫자가 2이고, 100번째 숫자가 1이고, 10번째 숫자가 4일 경우

 

이건 1번째 숫자만 고려해주면 되겠죠. 2,1,4는 이미 사용했으므로 3보다 크려면 5, 6밖에 사용할 수 없습니다. 따라서 2가지의 경우의 수가 나옵니다.

 

모두 종합하면 240 + 48 + 6 + 2 = 296가지입니다.

 

나. 판교의 한 스타트업 회사의 A팀은 프로젝트를 위해 B팀과 공동으로 워크숍을 진행하려고 한다. 테이블의 한 열의 자리에 2년 차 이상 기존 직원 4명과 신입 사원 3명이 모두 앉으려고 한다. 기존 직원 자리에 구분은 없지만 신입사원은 서로 인접하여 앉지 않기로 한다. A팀이 테이블 자리에 앉을 수 있는 경우의 수는 총 몇가지인가?

우선 자리 7개가 있다고 해봅시다.

1

2

3

4

5

6

7

이렇게 구성이 되겠죠?

 

그러면 여기서, 신입사원에 대한 조건만 주어졌으므로 기존 직원은 따로 어떤 조건을 통해 계산하지 않으므로, 팩토리얼만 해줘도 무방합니다.

 

따라서, 기존 직원에 대한 경우의 수는 4! = 24입니다.

 

우리가 생각해봐야 할 것은, 신입 사원에 대한 경우의 수겠지요. 잘 생각을 해봅시다. 신입사원은 서로 인접하지 않으므로, 기존직원의 사이 또 양 끝 자리에서 앉을 수 있습니다. 이를테면,

 

1. 신이 첫 자리에 있을 때

신

기

신

기

신

기

기

2.

신

기

신

기

기

신

기

3.

신

기

신

기

기

기

신

4.

신

기

기

신

기

신

기

5.

신

기

기

신

기

기

신

6.

신

기

기

기

신

기

신

7. 신이 두 번째 자리에 있을 때

기

신

기

신

기

신

기

8.

기

신

기

신

기

기

신

9.

기

신

기

기

신

기

신

10. 신이 세 번째 자리에 있을 때

기

기

신

기

신

기

신

따위의 예시가 도출될 수 있을 것입니다. 

 

따라서 신입 사원이 앉을 경우의 수는 10이므로, 신입사원이 다르게 앉을 3!까지 곱해주면, 신입사원의 경우는 10 x 3! = 60입니다.

 

기존 사원 x 신입 사원 = 24 x 60 = 1440, 답은 1440가지입니다.

다. 원형 테이블에서 신입사원 2명과 선배사원 4명이 환영회를 진행한다. 신입사원 2명이 서로 이웃하지 않게 앉는 경우의 수는?

원형 테이블이 있습니다. 보통 원형테이블이라 하면 O 모양으로 되어있어, 6!으로 주로 생각하실 것 같지만

 

원은 '굴리면 똑같다'라는 성질을 가지고 있기 때문에, 6!가 아닌 5!로 계산해줘야 합니다. 따라서 원형 테이블 전체 경우의 수는 120입니다.

 

즉, a명이 앉아있다면 a명의 원형 테이블에 대한 경우의 수는 (a-1)!이 됩니다.

 

따라서 해당 유의점을 알고 문제를 풀어보면, 신입사원 2명이 이웃하지 않아야 합니다.

 

신입사원 2명이 마주보고 있으므로 하나의 사원으로 생각하고 문제를 풀어주어도 무방합니다. 따라서 4!를 해주되, 마주보는 것이면 반대로 되어도 똑같으므로 4! x 2를 해주면 48이 됩니다.

 

따라서 서로 이웃하지 않는 것은 120 - 48 = 76가지입니다.